Zenbakien oinarrizko propietate batzuk aplikatuz, erraz froga daiteke:

"batura bider kendura karratuen kendura" dela.

Hau da, bi zenbakiren batura eta kendura biderkatzea eta zenbaki horien karratuak kentzea gauza bera dela.

Zenbaki horiei "a" eta "b" izena emanez, esandakoaren frogapen bat hauxe izan daiteke: (a + b) (a - b) = a a - a b + b a - b b = a² - b²

Orain, geometrikoki frogatuko dugu identitate nabarmen hori: (a + b)(a – b)=  a² - b²

Galderak

1. Aplikazioa abiaraztean, trapezio berdin biz osaturiko laukizuzen bat agertzen zaizu. Zer neurri ditu laukizuzenak?

2. Zein da laukizuzenaren azalera? Eta trapezio bien azalera osoa? Idatzi emaitza zeure koadernoan, honako esaldi hau osatuz:  Trapezio bien azalera osoa ...... cm²da. 

3. Puntu berdea mugituz, laukizuzenaren forma alda dezakezu. Zer gertatzen zaie  a  eta  b  luzerei puntu horren posizioa aldatzean?

4. Onartzen du aplikazioak  b  izatea  a  baino handiagoa? Zer dela eta uste duzu gertatzen dela hori?

5. Izan daiteke  b–ren  balioa 0? Zein da laukizuzenaren azalera kasu berezi horretan?

6. Berrabiarazi aplikazioa (). Mugitu orain puntu laranja, harik eta karratu gris bat agertu arte. Zer azalera du karratu grisak? Idatzi zeure koadernoan, honelaxe:  Karratu grisaren azalera = ...... cm². 

7. Irudi guztia da, orain, karratu handi bat. Zein da haren azalera? Idatzi zeure koadernoan, honelaxe:  Karratu handiaren azalera = ...... cm². 

8. Aurreko bi erantzunak kontuan izanik, zein da karratu handiaren barruko trapezioen azalera osoa? Osatu esaldi hau:  Trapezio bien azalera osoa ...... cm²da. 

9. Alderatu 2. eta 8. galderen erantzunak. Zer ondorioztatzen duzu?

10. Orain, ahalegindu berdintza  atzekoz aurrera  ikusten. Hau da:   a² - b² = (a + b) (a + b)
    
    Horretarako, har ezazu karratu handia, ekuazioaren 1. atalari dagokiona:  a² - b² adierazpenari, alegia. Mugitu puntu berdea posizio desberdinetara, eta erreparatu zer gertatzen den. Ondoren, mugitu puntu laranja ekuazioaren 2. atalera joateko, hau da, (a + b) (a - b) azalerako laukizuzenera.
    
    Ohartu zaitez edozein identitatek funtzionatzen duela bi noranzkoetan, eta hori oso erabilgarri gerta dakiguke. Kasu honetan, (a + b) (a - b) adierazpenetik parentesiak berehala kentzeko balio diezaguke ,baina baita a² - b² adierazpena azkar faktorizatzeko ere,(a+b) eta (a-b) adierazpenen biderkadura legez.
    
    Adibidez, (x - 2) (x + 2) = 45 ekuazioa ebatzi nahi badugu, parentesiak kenduko ditugu; baina zatidura hau sinplifikatzeko, (x² - 4)/(x-2) alegia, (x² - 4) adierazpena (x - 2) (x + 2) biderkaduran faktorizatuko dugu, eta, gero, sinplifikatu. Dena dago unean uneko interesaren arabera.