Leiho bat kaosera

Christopherrek, Mark Haddon-en “Txakur baten gertakari bitxia gauerdian” nobelako protagonistak, 151. kapituluko pasarte batean hauxe dio:

Gauza asko misterioak dira. Baina horrek ez du esan nahi erantzunik ez dutenik. Esan nahi du zientzialariek ez diotela aurkitu, oraindik, erantzunik.

...

Hona hemen animalien populazio baterako formula bat.

N_berria = λ N_zaharra (1 - N_zaharra)

Eta formula horretan, N-k populazioaren dentsitatea adierazten du. N = 1 denean iritsiko da populazioa izan daitekeen handiena izatera. Eta N = 0 denean, desagertu egingo da populazioa. N_berria urte bateko populazioa da, N_zaharra aurreko urteko populazioa,. eta λ konstantea. Baina λ 1 baino txikiagoa denean, populazioa txikiagotuz joango da, desagertu arte. Eta λ konstantea 1 eta 3 balioen artekoa denean, populazioa hazi egingo da eta gero egonkortu, honelaxe (grafiko hauek hipotetikoak dira):

Eta λ konstantea 3 eta 3,57-ren artean dagoenean, populazioak honelako ziklo hauei jarraituko die:

Baina λ konstantea 3,57 baino handiagoa denean, populazioa kaotiko bihurtuko da, 1. grafikoan bezala.

Hori, Robert May, George Oster eta Jim Yorke-k aurkitu zuten. Eta hauxe esan nahi du: gauza batzuek hain dira konplikatuak ezen ezinezkoa baita ondoren gertatuko dena iragartzea; baina, benetan, gertatuko dena arau edo erregela oso errazei zor zaie.

Eta horren esanahia hauxe da: batzuetan, igelen populazio oso bat, edo zizareena, edo jendearena hil daitekeela arrazoirik barik, bakarrik zenbakiek horrela funtzionatzen dutelako.

Chirstopherrek aipatzen duen ekuazioa 1976an planteatu zuen Robert May biologo australiarrak, intsektuen populazioaren hazkundea aztertzeko ekosistema itxi batean. May-ren parabola logistikoa izenarekin ezagutzen da..

Aktibitate honetan Christopherrek azaldu nahi diguna ikertuko dugu. Irristailuekin, N hasierako dentsitatearen eta λ bizitasun-indizea deituriko konstantearen balioak alda ditzakegu. Kalkulu-orriak, berriz, lortzen goazen balioen irakurketa zehatzago egitea ahalbidetuko digu.

Prozesu batzuetan, aldagai baten aldaketa txikiek eragin handia izan dezakete emaitzean. Horrelakoxeak aztertzen dira kaosaren teoriaren bidez.. Fenomeno horrek badu zerikusirik behin baino sarriago entzungo zituen hitz hauekin: Tximeleta efektua.

Sentitzen dugu, baina GeoGebraren appleta ezin izan da abiarazi. Mesedez, egiaztatu instalatuta daukazula Javaren 1.4.2 bertsioa edo berriago bat zure nabigatzailean. (Egin klik hemen Java oraintxe instalatzeko.)

Galderak

Ikertu Christopherren baieztapena; alegia, bizitasun indizea 1 baino txikiagoa bada, populazioa txikituz joango dela desagertu arte. Erabili irristailuak λ konstantearen balioa aldatzeko (λ <1 mantenduz) eta N-ren balioa aldatzeko. Egiazkoa da Christopherren baieztapena? N-ren balioaren menpekoa da?
Zer gertatzen da λ=1 denean?
Bizitasun-indizea 1,5 bada, eta populazioaren hasierako dentsitatea 0,1; zein izango da populazioaren dentsitatea 3 urte barru? Neurri barik haztera joko du populazioaren dentsitateak ala egonkortzera?
Mantendu λ = 1,5 konstantearen balioa, eta aztertu zer gertatzen den N-ren beste balio batzuetarako. Idatzi ondorioak.
Zoaz astiro-astiro bizitasun-indizea igotzen λ = 2,75 izan arte. Hartu duzun N-ren menpekoa da? Idatzi ondorioak.
N balio baten inguruan egonkortzen da, eta balio horri erakarlea deitzen zaio. Bete honako taula hau, eta saiatu aurkitzen erlazioren bat erakarlearen eta λ bizitasun-indizearen artean:

Bizitasun-indizea (λ)	1.25	1.5	1.75	2	2.25	2.5	2.75
Erakarlea (e)

Aztertu, orain, zer gertatzen den λ konstanteak 2,75 eta 3,5 zenbakien arteko balioak hartzen dituenean. Zenbatets dezakegu urte kopuru jakin baten ondoren egongo den populazioaren dentsitatea? λ konstantearen balio horietarako balio dizu 6. ariketan lortutako erlazioak?
Segi λ -ren balioa handitzen, eta aztertu, balio horietako bakoitzarerako, N-ren balio batzuk. Zer gertatzen da λ>3,5 denean? Badago λ -ren baliorik zeinetatik aurrera ezin izango den iragarri urte kopuru jakin baten ondorengo populazioa?
Zer gertatuko da λ>4 denean? Idatzi ondorioak.