Demagun f eta g funtzioak ditugula. Bi funtzio horiek berdinak izateko bete beharko duten baldintza honako hau izango da: x-ren edozein baliorentzat f(x) eta g(x) berdinak izan beharko dira beti. Har ditzagun, adibidez, funtzio koadratiko hauek:

  f(x) = (x + 3)²     eta    g(x) = x² + 6 x + 9

 
  Berdinak direla baiezta dezakegu, x-ren balioa edozein izanda ere, beti beteko baita honako hau:

(x + 3)² = x² + 6 x + 9 

  Funtzioen arteko berdintasun horren arabera, funtzio baten grafikoan bi motatako simetriak ager daitezke, nolakoa den grafikoa: batetik, OY ardatzarekiko simetrikoa izan daiteke (funtzio bikoitia) eta, bestetik, koordenatu-jatorriarekiko simetrikoa (funtzio bakoitia).

   Gainera, bi funtzioren grafikoak y=x zuzenarekiko simetrikoak izan daitezke (alderantzizko funtzioak).

   Atal honetan, horrelako bi funtziok  zer baldintza bete behar duten aztertuko dugu. Jakina, gerta liteke simetriarik ez izatea: funtzio gehienek ez dute inolako simetriarik.

  Jarduera honekin, bi kontu ikertuko ditugu:

Galderak

Funtzio bikoitiak: OY ardatzarekiko simetria

1. Hasieran, aplikazioak honako funtzio koadratikoaren grafikoa erakusten du: f(x) = a x² + b x + c. a, b eta c balioak alda ditzakezu dagozkien irristailuak erabiliz. Zein da grafikoan ikus dezakezun P puntuaren x-ren eta y-ren arteko erlazioa? Hau da, zein da abzisaren balioaren eta ordenatuaren balioaren arteko erlazioa?

2. OY ardatzarekiko simetrikoa den parabola ere ikus dezakezu; lerro etena erabiliz marraztutako parabola, alegia. Mugi ezazu P puntua. x-ren balio bakoitzarentzat P puntuaren koordenatuak (x,  a x² + b x + c) badira, zein izango dira islatutako P’ puntuaren koordenatuak x kontuan izanda?

3. Zein izango da, orduan, g funtzio koadratikoaren ekuazioa, bereraren grafikoa f funtzioaren simetrikoa bada OY ardatzarekiko?

4. f funtzioa OY ardatzarekiko simetrikoa izan dadin (bikoitia), bere irudi simetrikoarekin bat etorri beharko du, hau da, g funtzioarekin. Zer balio eman beharko dizkiegu a, b eta c-ri, bi grafikoak bat etor daitezen puntu guztietan? Erabili irristailuak, balio horiek bilatzeko. 

5. f funtzioa honela dago definituta: f(x) = a x² + b x + c . g funtzioa, ordea, honela: g(x) = a x² - b x + c  (3. galderaren zure erantzuna egiaztatu). Bi funtzioak bat etor daitezen f(x) = g(x) izan beharko da, hasieran esan dugun bezala. Beraz, 2bx=0, edo errazago, bx=0 dela bete beharko da. Ekuazio horretatik, b-ren balioak derrigorrean zero izan behar duela ondorioztatzen dugu. Zergatik? (gogoratu, bi funtzioen arteko berdinketa dela, ez bi zenbakizko balio jakinen artekoa, eta, beraz, x-ren balio posible guztientzat bete behar dela)

6. Erreparatu g(x) funtzioaren definizioa f(-x) baino ez dela. Beraz, zer baldintza bete beharko du funtzio batek OY ardatzarekiko simetrikoa izan dadin?

OX ardatzarekiko simetria

7. Aukeratu Simetria 2, beheko irristailua erabilita. OX ardatzarekiko simetrikoa den parabola agertuko da orain, lerro etena erabiliz marraztutakoa. Mugi ezazu P puntua. x-ren balio bakoitzarentzat P puntuaren koordenatuak (x,  a x² + b x + c) badira, zeintzuk izango dira orain, islatutako P’ puntuaren koordenatuak, x-ren arabera? 

8. Zein izango da, orduan, g funtzio koadratikoaren ekuazioa, beraren grafikoa f funtzioaren simetrikoa bada OX ardatzarekiko?

9. f funtzioa OX ardatzarekiko simetrikoa izango bada, bere irudi simetrikoarekin bat etorri beharko du, hau da, g funtzioarekin. Zer balio eman beharko dizkiegu a, b eta c-ri, bi grafikoak bat etor daitezen puntu guztietan? Erabili irristailuak, balio horiek bilatzeko.

10. f funtzioa honela dago definituta: f(x) = a x² + b x + c ; g funtzioa, ordea, honela: g(x) = -a x² - b x - c  (egiaztatu 8.galderari emandako erantzuna). Bi funtzioak bat etor daitezen, f(x) = g(x) izan beharko da; beraz, 2a x² + 2b x + 2c = 0, edo errazago, a x² + b x + c = 0. Ekuazio honetatik, ondorioztatzen dugu a, b eta c-ren balioek derrigorrez zero izan behar dutela. Zergatik?

11. Izan ere, OX ardatzarekiko simetrikoa den funtzio bakarra f(x) = 0 funtzio konstantea da, eta beraren grafikoa, hain zuzen, OX ardatza da. Zergatik ez dago ardatz horrekiko simetrikoa den beste funtziorik?

Funtzio bakoitiak: koordenatu-jatorriarekiko simetria

12. Orain, aukeratu Simetria 3. Koordenatu-jatorriarekiko simetrikoa den parabola agertuko da, lerro etena erabiliz marraztutakoa (simetria hau ikusteko, lehenengo ardatz batean islatu beharko litzateke irudia, eta, gero, bestean). Mugi ezazu P puntua. x-ren balio bakoitzarentzat P puntuaren koordenatuak (x,  a x² + b x + c) badira, zeintzuk izango dira orain, x kontuan izanda, islatutako P’ puntuaren koordenatuak?
    

13. Zein izango da, orduan, g funtzio koadratiko baten ekuazioa, jakinik haren grafikoa f funtzioaren simetrikoa dela koordenatu-jatorriarekiko?

14. f funtzioa koordenatu-jatorriarekiko simetrikoa izan dadin (bakoitia), bere irudi simetrikoarekin bat etorri beharko du, hau da, g funtzioarekin. Zein balio eman beharko dizkiegu a, b eta c-ri, bi grafikoak bat etor daitezen puntu guztietan? Erabili irristailuak balio horiek bilatzeko.

15. f funtzioa honela dago definituta: f(x) = a x² + b x + c ; g funtzioa, ordea, honela: g(x) = -a x² + b x - c  (egiaztatu 13. galderari emandako erantzuna). Bi funtzioak bat etor daitezen f(x) = g(x) izan beharko da; beraz, 2a x² + 2c = 0, edo errazago, a x² + c = 0. Ekuazio honetatik, a-ren eta b-ren balioek derrigorrez zero izan behar dutela ondorioztatzen dugu. Zergatik?

16. Erreparatu g(x) funtzioaren definizioa -f(-x) baino ez dela. Beraz, zer baldintza bete beharko du funtzio batek koordenatu-jatorriarekiko simetrikoa izan dadin?

Alderantzizko funtzioak

17. Aukeratu Simetria 4. Urdinez marraztuta agertuko den parabola y=x zuzenarekiko simetrikoa izango da. Mugi ezazu P puntua. Azter ezazu P eta P’ puntuen koordenatuen arteko erlazioa. x-ren balio bakoitzarentzat P puntuaren koordenatuak (x, y) badira, zeintzuk izango dira orain, islatutako P’ puntuaren koordenatuak, x-ren arabera?

18. Funtzio baten grafikoa al da parabola urdina? Zergatik?

19. Alda dezagun hasierako funtzioa beste funtzio baten ekuazioa aurkitzeko; horretarako, x eta y aldagaiak alderantzikatuko ditugu. Aterako den grafiko berria hasierako grafikoaren isla izango da. Ikus dezagun adibide bat. Idatzi Sarrerako barran f(x) = 2x: gauza bera da funtzio horren grafikoa y=x zuzenean islatzea, eta x eta y aldagaiak trukatzea. Horrela, funtzio berriaren ekuazioa honakoa izango da: x = 2y. Isolatu y aldagaia ekuazioaren adierazpen esplizitua lortzeko.

20. Erreparatu, x eta y trukatzean, f funtzioaren eragina “desegiten” ari garela. f funtzioak x-ren balio bakoitza 2 zenbakiaz biderkatzen du; funtzio berriak, ordea, balio hori zati 2 egiten du. Bi funtzioak “kontrakoak” dira, batak egiten duena besteak desegiten baitu. Balio bati funtzio bat aplikatzen badiogu eta emaitzari beste funtzioa, hasierako balioa izango da emaitza. Hau da, bi funtzioen arteko konposizioa eginda, y = x identitate funtzioa aterako da. Horregatik, alderantzizko funtzioak direla esaten da. Zein da f(x) = x/3 – 1 funtzioaren alderantzizkoa?

21. f(x) = x eta f(x) = -x funtzio linealek eta f(x) = 1/x eta f(x) = -1/x alderantzizko proportzionaltasuneko funtzioek ezaugarri komun bat daukate. Zein da ezaugarri hori? Frogatu erantzuna, aplikazioa erabilita.