Jarduera honetan, funtzio koadratikoaren y = a (x – x₀)² + y₀ ekuazio kanonikotik abiatuko gara. Ekuazio horretan, V(x₀,y₀) erpina duen parabolaren "a" koefizienteak alde zuzenaren luzeraren alderantzizko balioa du, eta parabolaren noranzkoa adierazten du haren zeinuak.

Eman dezagun funtzio koadratikoak bi erro dituela: x₁ eta x_2; eta eraiki dezagun y = a (x – x₁)(x – x₂)  ekuazioa duen funtzioa. Ekuazio horretan, hiru parametrok zehazten dute ekuazioa: batetik, a koefizienteak; eta bestetik, x₁ eta x₂ parabolaren erroek. Bada, x₁ eta x₂ badira funtzio berriaren erroak ere, ekuazioan ordezkatuz gero y-ren balioa 0 egiten dutelako. Beraz, (x₁,0) eta (x₂,0) dira funtzio berriaren bi puntu. 

Parabola biak –ekuazio kanonikoak adierazten duena eta ekuazio berriak adierazten duena– (x₁,0) eta (x₂,0) puntuetatik igarotzen dira, eta biek dute erpina ardatz bertikalean eta aurreko bi puntuen artean; horretaz gain, noranzko berbera dute, a parametro berbera dutelako. Den-dena kontuan hartuta, parabolak berdinak direla ondorioztatzen dugu, eta, hori dela eta, bi ekuazioek baliokideak izan behar dute. 

Ekuazio faktorizatua deitzen diogu erroen funtzioan idatzita dagoen funtzio koadratiko baten ekuazioari: y = a (x – x₁)(x – x₂). Ikasiko dugu nola berreskuratu ekuazio kanonikoa ekuazio faktorizatu horretatik abiatuta, eta hala, funtzio koadratikoen erroak eta zuzen ukitzaileen ekuazioak kalkula ditzakegu.

Eszenan, parabolaren bi ekuazio motak agertuko zaizkizu beti. V erpina, OX ardatzarekiko ebaki-puntuak eta P ukipen-puntua mugikorrak dira eszenan.

Galderak

1. Funtzio koadratiko baten y = a (x – x₁)(x – x₂) ekuazio faktorizatua ezagutzen badugu, orduan x₁ eta x₂ haren erroak ezagutuko ditugu. Aztertu eszena, eta konturatu zaitez parabolaren erpinaren (x₀) abzisa x₁ eta x₂ abzisen erdi-erdian kokatzen dela (puntu urdinen abzisak dira x₁ eta x₂), parabolak duen simetria dela eta (beraz, erpina ardatzaren gainean kokatzen da). Hau da, x₀ = (x₁+x₂)/2.
   
   Behin x₀ abzisaren balioa lortuta, erpina parabolaren puntu bat ere badenez, haren koordenatuek parabolaren ekuazioa bete behar dute. Beraz, erpinaren ordenatua (y₀) kalkulatzeko, nahikoa da x₀-ren balioarekin ordezkatzea ekuazioko x.  
   
   Kalkulatu y = 0.5 (x – 1)(x – 7) parabolaren erpina eta ekuazio kanonikoa, goian aipatutako prozedura erabilita. Egiaztatu lortutako soluzioa eszenan. 

2. Aurkitu aurreko parabolaren zuzen ukitzailea 6 abzisa duen puntuan. Egiaztatu lortutako soluzioa eszenan.

Oharra: Zenbaki erreal positibo baten erro karratua zehatz-mehatz defini dezakegu funtzio koadratikoari esker. Adibidez, "2ren erro karratu positiboa" zenbakia guztiz definituta geratzen da modu honetan: "y = x² – 2 funtzioaren erroa, kontuan hartuta puntu horretan zuzen ukitzailearen malda positiboa dela". "2ren erro karratu negatiboa", berriz, honela: "y = x² – 2 funtzioaren erroa, kontuan hartuta puntu horretan zuzen ukitzailearen malda negatiboa dela". 

Definizio horiei esker, kalkulu sinbolikorako programa batzuek (Maxima, Derive, Mathematica, Mapple, Matlab...) eta zenbait kalkulagailuk erabateko zehaztasunarekin erabil ditzakete erro karratuak eta zenbaki irrazionalak, doitasun handiko kalkuluak egiteko, zenbaki hamartarrak erabiltzean hurbilketetan gerta litezkeen erroreak egin gabe.