Aurreko atalean ikusi dugunez, y = a x² ekuazioa duten funtzio koadratiko guztien grafikoa parabola bat da. Bada, jarduera honetan, ezaupide horretatik abiatuko gara. Datu gehiago ere baditugu: erpina jatorrian eta ardatz bertikala dituzte parabola horiek; horretaz gain, ekuazioaren a koefizientearen balio absolutua alde zuzenaren luzeraren alderantzizkoa da, eta parabolaren noranzkoa adierazten du a-ren zeinuak.

Erpinaren translazio sinple bat eginez, orokortu egin dezakegu funtzio koadratikoa, erpina (x₀,y₀) puntu generikoa den kasurako; hala, funtzio koadratikoaren ekuazio kanonikoa lortuko dugu: y = a (x–x₀)² + y₀ .

Ikusten duzunez, hiru parametrok zehazten dute funtzio koadratikoa: batetik, a koefizienteak; eta bestetik, erpinaren x₀ eta y₀ koordenatuek.

Galderak

1. Mugitu F fokua. Ikus dezakezunez, parabolaren kurbadura, eta bai parabolaren noranzkoa ere (adarrak gorantz edo beherantz joatea), fokuaren posizio horren menpe daude. Zer puntutan egon behar du fokuak parabolaren erpina posizio gorenean egoteko (hau da, puntu maximoa izateko)? Zer erlazio du F fokuak alde zuzenaren luzerarekin?

2. Zer erlazio dute F fokuak eta ekuazioko x²-aren koefizienteak? Zein dira F fokuaren koordenatuak? (Adierazi erantzuna a koefizientearen funtzioan).

3. Klikatu "Berrabiarazi" botoiaren gainean. Mugitu V erpina gutxi gorabehera 1,5 unitate eskuinera eta unitate bat gora (bi parabolak ondo bereizteko). Translazioa deitzen da egin duzun higidura. Erpina higitzean, planoko puntu guztiak ere mugitu dituzu: egiaztatu V, P eta F puntuak mugituz. Parabola osoa modu berean mugitu da; hala, V´(x₀,y₀) erpin berrian zentratutako ardatz koordenatuak kontuan hartuta, parabolaren puntuek ez dute aldatu posizio erlatiboa ardatz berri horiekiko.
   
   Demagun V erpinaren koordenatuak (x₀,y₀) direla. Zein dira F fokuaren koordenatuak?

4. Parabolaren puntu guztien posizioa aldatu egin da hasieran genituen ardatzekiko. Hala, parabolaren puntu guztiek aurrez zeukaten y = a x² erlazioari eusteko, aurkako translazio-bektorea (–x₀,–y₀) gehitu behar diegu puntu guztien koordenatuei jatorrizko egoerara itzultzeko.
   Konturatu zaitez eszenan (x–x₀,y–y₀) direla P puntuaren koordenatuak ardatz berriekiko. Orduan, y–y₀ = a (x–x₀)² da parabolaren ekuazioa; edo, y askatuta,   y = a (x – x₀)² + y₀. Ekuazio hori edozein funtzio koadratikoari dagokio, eta ekuazio kanonikoa edo forma kanonikoa deitzen da.
   
   Idatzi bi parabolaren ekuazioak, (2,1) puntutik igarotzen direla eta alde zuzenek 4 unitateko luzera dutela jakinik.

5. Zer puntutan dago kokatuta y =  (x + 1)²– 3 ekuazioa duen parabolaren erpina?

6. Demagun erpina V(2,–1) puntuan eta fokua F(2,1) puntuan dituen parabola bat dugula. Zein da p parametroaren balioa? Zein da parabolaren ekuazioa?