Espirala puntu zentral batean sortzen den zirkunferentzia bat da, pixkanaka eta progresiboki puntu horren inguruan birak emanez aldentzen doana. Zabaltze- eta biratze-fenomenoek bat egiten dutenean, espiralak sortzen dira, eta forma horiek gizakiaren harridura sortu dute beti. Naturan espiralak askotan agertzen dira, egungo bizitzan erabiltzen ditugun objektu mekaniko askotan ere agertzen dira eta artean ere lan anitzetan ikus ditzakegu. Hori guztia dela eta, historian zehar matematikarien ikergai eta aztergai izan dira.

Kristo aurreko III. mendean egin zen espiralen inguruko lehen ikerketa, Arkimedes handiak gauzatua. Espiral sinpleena, haren ohorez Arkimedesen espirala deitua, sakonki aztertu zuen garaiko ikerlariek erabiltzen zituzten metodoak baino askoz aurrerakoiagoak erabiliz.

Zirkulu baten inboluta aurreko espiralaren oso antzekoa da; horregatik, espiral arkimediana izenaz ere ezagutzen da. Azken espiral hori zirkulu zentral batean amaitzen da, puntu batean amaitu beharrean. Ezaugarri horrek bereizten ditu aipaturiko bi espiralak. Huygens-ek aztertu zuen lehenengoz, itsasoan erabiltzeko penduludun erlojuak ikertzen ari zela.

Hala ere, ez dira espiral arkimedianak naturan gehien eratzen direnak. Biribiltze- eta handitze-prozesuak erlazionatuta agertzen diren kasuetan, gehienetan espiral logaritmikoak sortzen dira. Animalia- eta landare-espezie askoren hazte-prozesuetan, zikloien sortze-prozesuetan edo galaxia askoren formetan topatzen ditugu. Espiralek betetzen dituzten lege matematikoa betetzen dute, nahiz eta hazkuntzaren lege fisikoak ezberdinak izan. Descartesek, Jacob Bernoullik eta beste hainbat matematikari handik horrelako espiralak sakonki ikertu zituzten.

Sakatu irudiaren gainean
informazio gehiago lortzeko

Aplikazio honen bitartez, espiralak gehiago ezagutzeko aukera izango dugu, eta naturan, artean edo eguneroko objektutan topa ditzakegunekin erlazionatzeko aukera ere izango dugu.

Galderak

Espiralen inguruko ikerketa

1. Ohitu zaitez irristailuak erabiltzen: mugitu irristailuak, eta begiratu aldaketei. Orain ikusten ari zaren aldaketak sakonago aztertuko ditugu ondorengo ariketetan.

2. Klikatu Berrabiarazi botoia . Agertzen den espirala Arkimedesen espiral bat da, eta erloju-orratzen kontrako noranzkoa dauka (normalean angeluak neurtzeko erabilitako noranzkoa). Klikatu "Puntu bat erakutsi laukitxoa". Mugitu puntu zuria kurbaren gainean, eta begiratu zer gertatzen den. Zer adierazten du nabarmendutako segmentuak? Puntua mugitzean segmentuaren luzera aldatzen al da? Zer gertatzen da zentrorantz hurbiltzen garenean? Espiral arkimedianoaren gainean emandako lehen bira kontuan hartzen ez badugu, gainerakoek zer ezaugarri dute?

3. a-ren balioa aldatuko bagenu, distantzia hori aldatuko litzateke? a = 0,5-eko balioa daukanean, zein da distantzia? Eta a = 1 denean? a-ren baliotik abiatuta distantzia neurtzeko formularik bururatzen al zaizu?

4. Irristailu horizontala erabiliz, aldatu espiralaren noranzkoa. Aurreko puntuan ikerturikoa mantentzen al da? a-ren balio jakin bat hartuz, espiraleko biren arteko distantzia aldatzen al da biratze-noranzkoa aldatuz gero?

5. Klikatu berriro hasierako laukitxoa. Irristailu bertikala erabiliz, aukeratu Zirkuluaren inboluta espirala. Klikatu "Puntu bat erakutsi" laukitxoa. Mugitu puntu zuria kurbaren gainean, eta begiratu zer gertatzen den. Demagun puntutik abiatuta agertzen den segmentu urdina hari bat dela. Nola deskribatuko zenuke puntu zuria kurban zehar zentrorantz hurbilduz eta urrunduz mugitzean gertatzen dena?

6. Orain, irristailu horizontala erabiliz, aldatu espiralaren noranzkoa. Aurreko puntuan ikerturikoa mantentzen al da?

7. Demagun orri bat, soka zati bat, poto zilindriko txiki bat eta arkatz bat dauzkazula. Aurreko atalean ikusitakoan oinarrituta eta objektu horiekin bururatzen al zaizu ezaugarri horietako espiral bat marrazteko modurik?

8. Klikatu berriro hasierako laukitxoa. Klikatu espiral logaritmikoa irristailu horizontala erabiliz. Klikatu "Puntu bat erakutsi" laukitxoa. Mugitu puntu zuria kurbaren gainean, eta begiratu zer gertatzen den. Mota horretako espiralak ekiangeluar izenaz ere ezagunak dira. Zergatik hartzen ote dute izen hori?

9. Aldatu b aldagaiaren balioa, eta begiratu angeluaren balioa. Konstante mantentzen al da edo aldakorra da? Zer gertatzen da b-ren balioak 1 baliorantz jotzen badu? Zer gertatu da kasu horretan espiralarekin? b-ren balioa handituko bagenu zer aldaketa jasango luke espiralak?

10. Aldatu b aldagaiaren balioa, eta begiratu angeluaren balioa. Konstante mantentzen al da edo aldakorra da?

Irudiak aztertzea

Ondorengo ariketeta guztietan, azaltzen diren irudietara gehien hurbiltzen diren espiralak aurkitzeari ekingo diogu. Hori lortzeko, aukeratu, irristailu bertikala erabiliz, aproposena deritzozun espirala eta, ondoren, biraketa-noranzkoa. Azkenik, parametroak aldatuz joan espiralak irudiarekin bat egin dezan. Espirala biratu dezakezu eta haren luzera aldatu. Horretarako, erabili n irristailua (zehaztasun gehiago izateko, +/- teklak erabili) edo irudi bat aukeratzean behean agertuko zaizun puntu horia biratu zirkulu urdinaren gainean. Kontuan izan naturan nahiz ohiko objektuetan agertzen diren espiralak ez direla matematikoki perfektuak. Beraz, irudiek eta espiralek ez dute beti erabat bat egingo.

11. Klikatu berriro hasierako laukitxoa. Klikatu Im1 laukitxoa. Zure helburua da ikusten ari zaren irudiarekin ahalik eta hobekien bateratuko den espirala topatzea: irudia Nautilus baten sekzioa da. Filipinetako itsasoetan bizi den molusku bat da. Nahi dugun emaitza lortutakoan, idatzi koadernoan irudiaren izena, erabili duzun espiral mota, biratze-noranzkoa eta parametroen balioak. Azkenik, klikatu hasierako laukitxoa hasierako egoerara bueltatzeko.

12. Espiralak aztertu zituen matematikari handietako bat Jacob Bernoulli izan zen; bereiziki, espiral logaritmikoak aztertu zituen. Horregatik, haren ohorez, hilarrian espiral bat landu eta inguruan hitz hauek inskribatu zizkioten: Eadem mutata resurgo (Aldatuta bada ere, berriro sortuko naiz), Bernoulliren enkarguzko hitzak dira, adierazteko kurba hori handituz, aldatuz, doala baina beti ere bere nortasuna galdu gabe. Klikatu Im2 irudia Bernoulliren hilarrian landutako espirala ikusteko, eta saiatu bertara egokituriko espirala aurkitzen. Espiral benetan logaritmikoa al da? Aurreko ariketan egin dugun bezala, nahi dugun emaitza lortutakoan idatzi koadernoan irudiaren izena, erabili duzun espiral mota, biratze-noranzkoa eta parametroen balioak. Azkenik, klikatu hasierako laukitxoa hasierako egoerara bueltatzeko.

13. Espiralak ohiko objektu askotan erabiltzen dira, eta artelan askotan ere agertzen dira. Klikatu Im3 kutxatila, eta bilatu eskulturara egokien moldatzen den espirala. Nahi dugun emaitza lortutakoan, idatzi koadernoan irudiaren izena, erabili duzun espiral mota, biratze-noranzkoa eta parametroen balioak. Azkenik, klikatu hasierako laukitxoa hasierako egoerara bueltatzeko.

14. Jurasikoan eta Kretazeoan bizi izan ziren animalien espiral-formako fosil asko mantentzen dira. Baliteke fosil horiek bultzatu izana Arkimedes kurba berezi horiek ikertzera. Klikatu Im4 kutxatila eta aurkitu Perisphintes-ari egokien moldatuko zaion espirala. Aurreko ariketan egin dugun bezala, nahi dugun emaitza lortutakoan idatzi koadernoan irudiaren izena, erabili duzun espiral mota, biratze-noranzkoa eta parametroen balioak. Azkenik klikatu hasierako laukitxoa hasierako egoerara bueltatzeko.

15. Ingurura begiratuz gero, ziurrenik espiralak erabiltzen dituzten eraikuntzak topatuko dituzu. Klikatu Im5 irudia, eta bilatu bolutari egokien moldatuko zaion espirala. Nahi dugun emaitza lortutakoan, idatzi koadernoan irudiaren izena, erabili duzun espiral mota, biratze-noranzkoa eta parametroen balioak. Azkenik, klikatu hasierako laukitxoa hasierako egoerara bueltatzeko.

16. Klikatu Im6 laukitxoa eta aurkitu itzazu zeramika-lanaren albo bakoitzean sortutako espiraletara egokien moldatuko diren kurbak. Nahi dugun emaitza lortutakoan, idatzi koadernoan irudiaren izena, erabili duzun espiral mota, biratze-noranzkoa eta parametroen balioak. Azkenik, klikatu hasierako laukitxoa hasierako egoerara bueltatzeko.

17. Zikloi nahiz ekaitzetan presio baxuko zentrorantz gehien hurbiltzen den airea azkarrago biratzen da urrunago dagoena baino. Hori dela eta, fenomeno mota horren irudiak ikustean espiralak azaltzen zaizkigu. Klikatu Im7 laukitxoa, eta topatu Florida penintsularen inguruan zikloiaren adarren bati moldatuko zaion espirala. Nahi dugun emaitza lortutakoan, idatzi koadernoan irudiaren izena, erabili duzun espiral mota, biratze-noranzkoa eta parametroen balioak. Zer gertatuko litzateke espirala biratuko bagenu gainerako parametroak aldatu gabe? Azkenik, klikatu hasierako laukitxoa hasierako egoerara bueltatzeko.

18. Galaxia bat sortzen duten milaka milioi izarren artean sortutako grabitate-indarrak izarrak galaxiaren zentroaren inguruan birarazten ditu. Galaxiaren zentrotik aldendu ahala, ordea, biraketa-abiadura txikituz doa, eta horrek izarrak espiral ikusgarriak eratuz multzokatzea eragiten du. Klikatu Im8 laukitxoa, eta saiatu galaxiaren adarretara egokien moldatuko den espirala lortzen. Nahi dugun emaitza lortutakoan, idatzi koadernoan irudiaren izena, erabili duzun espiral mota, biratze-noranzkoa eta parametroen balioak. Zer gertatuko litzateke espirala biratuko bagenu gainerako parametroak aldatu gabe?