Ariketa honetan, zenbait erlazio bitxirekin jolastuko gara, baina askoz gehiago erants litezke. Hiru erpinek, A, B eta C, triangelu bat eratzen dute, eta horren angelu eta aldeek bidea ematen dute milaka leku geometriko hertsiki konektatuak sortzeko.

Bitxiena da, ia magikoa, elementu geometrikoa, sortzen den   eraikuntza-prozesua eta leku horien guztien propietateak oso bestelakoak izan daitezkeela, aurrerago ikusiko dugun moduan.

Galderak

1. Aktibatu Zirkuntzentroa (O puntua) laukia. Zer zuzenek ebakitzen dute elkar puntu horretan? Zer erlazio dago zirkuntzentroaren eta erpinen artean?

2. Aktibatu "Barne-erdikariak", "Intzentroa" I puntua, "Kanpo-erdikariak" eta "Exintzentroak" J_A, J_B eta J_C). O, I, J_A, J_B eta J_C puntuak bost puntu dira –oro har, desberdinak–, eta horietatik igarotzen den konika bakarra mugatzen dute.
   
   Kasu honetan, 5 puntu horiek hiperbola bat zehazten dute, Stammlerren hiperbola deritzona. Aktibatu lauki hori, ikusteko. Mugi itzazu triangeluaren erpinak, doitzea perfektua dela egiaztatzeko. Zer zuzen bilakatzen ("degeneratzen") da hiperbola, triangelua isoszelea denean?

3. Aurrekotik ondorioztatzen da Stammlerren hiperbolak nolabait lotzen dituela erdibitzaileak (zirkuntzentroa) erdikariekin (intzentroa eta exintzentroak). Aktibatu Erdibidekoak laukia. Berdez ageriko dira. Zer zentrotan ebakitzen dute elkar erdibidekoek? Puntu hori, Stammlerren hiperbolan dago, ala ez? Egiaztatzeko, mugi itzazu triangeluaren erpinak.

4. Nola eraiki dugun ikusita, ematen du Stammlerren hiperbolak ez daukala zerikusirik erdibidekoekin. Dena den, egin dezagun honako hau. Isla ditzagun hiru erdibidekoak erpin bereko barne-erdibitzaileetan. Simedianak (horrela deitzen zaie erdibidekoen zuzen simetrikoei) laukia aktibatuz gero, ikus ditzakezu zuzen islatuak, berdez eta marra etenaz.
   
   Simedianek K puntu simedianoan ebakitzen dute elkar. Ikusteko, aktibatu "Puntu simedianoa". Puntu berri hori, Stammlerren hiperbolan dago, ala ez? Egiaztatzeko, mugi itzazu triangeluaren erpinak.

5. Orain, triangeluaren magia guztia. Sakatu Berrabiarazi botoia. Aktibatu "Stammlerren zirkuluak" laukia. Erradioaren irristailua mugi dezakezu. Zirkulu horiek (bat ikusten dugu, baina beste hiru daude) triangeluaren aldeak (edo horien luzapenak) zatitzen dituzte horien luzerekiko proportzionalak diren zuzenkitan. Proportzionaltasun horrek ez dauka zerikusirik, itxuraz, ez erdibidekoekin, ez erdibitzaileekin, ezta erdikariekin ere. Baina...

   1. Ohartu zaitez, erradioa egoki doituz gero, zirkulu horietako bat (1:1 proportzioa) zirkunferentzia zirkunskribatuari dagokiola. Eta zirkunferentzia horren zentroa zirkuntzentroa da, non erdibitzaileek elkar ebakitzen duten.

   2. Ohartu zaitez, erradioa egoki doituz gero, zirkulu horietako bat (0:1 proportzioa) zirkunferentzia inskribatuari dagokiola. Eta zirkunferentzia horren zentroa intzentroa da, non erdibidekoek elkar ebakitzen duten.

   3. Aktibatu berriro "Stammlerren hiperbola" laukia, eta ohartu hiperbolan daudela triangeluaren aldeak proportzionalki ebakitzen dituzten zirkuluen zentro guztiak (berdin dio zer erradio duten). Egiaztatzeko, mugi ezazu erradioaren irristailua.

6. Ikus dezagun beste magia-trikimailu bat. Sakatu Berrabiarazi botoia Barne-erdikariek angelu bakoitza bi zati berdinetan zatitzen duten modu berean, barne-trisektrizeek (aktibatu lauki hori) angelu bakoitza hiru zati berdinetan zatitzen dute. Ohartu zaitez trisektrize horiek elkar ebakitzen dutela, eta triangelu barnean hexagono irregular bat eratzen dutela.
   
   Gogoratu A, B eta C planoaren edozein puntu direla. Beraz, ez da harritzekoa hexagonoa irregularra izatea; erregularra izatea izango litzateke harritzekoa. Bada, sinetsi ala ez, hexagono horren hiru erpinek beti triangelu aldekide perfektu bat eratzen dute. Saiatu zaitez aurkitzen; eta asmatzen ez baduzu, aktibatu "Morleyren triangelua", eta ikusiko duzu.

7. Bukatzeko, azken emanaldi magiko bat. Sakatu Berrabiarazi botoia. Aktibatu "Lehenengo puntu isogonikoa" (puntu berdea) eta "Bigarren puntu isogonikoa" (puntu gorria) laukiak. Puntu horiek honako propietate hau betetzen dute: puntu horietatik, 60º-ko angeluarekin eta 120º-ko angeluarekin ikusten dira aldeak, hurrenez hurren. Baina triangelua kamutsegia ez bada, alegia, horren angelu handiena 120º-tik gorakoa ez bada, orduan lehenengo puntu isogonikotik angelu berarekin ikusten dira hiru aldeak. Zenbatekoa da angelu hori?
   
   Eraiki puntu isogonikoen erdiko puntua. Aktibatu "9 puntuen zirkunferentzia" laukia. Zer gertatu da? Egiaztatzeko, mugi itzazu triangeluaren erpinak.
   
   Triangeluak 120º baino angelu handiago bat badu, erpinetarako distantzien batura minimizatzen duen puntua (Fermaten puntua deritzona) angelu kamuts horren erpina da. Baina angelu handiena 120º-ra ere heltzen ez bada, puntu hori da... Asmatu! (edo aktibatu "Fermaten puntua" zein den jakiteko):