Bi puntu kontuan harturik, zenbait modu daude haiekin zerikusia duten makina bat puntu lortzeko. Adibidez, bata bestean isla dezakegu, eta berriro emaitza islatu, eta abar...; edo erdiko puntua kalkula dezakegu, eta erdiko puntu horren eta beste puntu baten erdiko puntua berriro kalkulatu, eta abar... Dena dela, puntu ugari horiek guztiak, edo ia gehienak, ez dira "interesgarriak", eraikitze-prozesuak ez baitio ematen propietate berezirik puntu bakoitzari; eraikitze-prozesutik bistakoak direnak besterik ez dio ematen. Ez dira, beraz, puntu nabarmenak.

Baina puntuen eta triangelu bati lotutako leku geometrikoen arteko erlazioak izugarri ugariak eta mota askotakoak dira. 3.500 puntu nabarmen baino gehiago daude katalogatuta, gaurdin batean begi hutsez ikus ditzakezun izarrak baino gehiago. Hainbeste dira, non biltzen dituen eta etengabe hedatzen den web-katalogoaren siglak ETC baitira (Encyclopedia of Triangle Centers).

Lehenengo 4 puntuak hauexek dira: X(1) = I intzentroa I, X(2) = G barizentroa, X(3) = O zirkuntzentroa, X(4) = H ortozentroa. Bosgarren puntua, X(5) 9 puntuen zirkunferentziaren zentroa da. Puntu simedianoa K, X(6) da. X(13) eta X(14) dira puntu isogonikoak.

Galderak

1. ABC triangeluaren alboan, ETCren lehenengo 100 puntuak agertzen dira (hala ere, triangelutik behar bezain gertu daudenak baino ez dira ikusten). Aktibatu "zuzen guztiak" laukia. 132 zuzen agertuko dira, haietako bakoitzak 100 puntu horietako 3 edo gehiago lerrokatzen dituela. Itxuraz, puntuen eta zuzenen nahaste-borraste bat dago, baina, egiatan, "hiru lerroan" taula erraldoi bat da. Mugitu irristailu horia, triangelua angeluzuzena, isoszelea eta aldekidea izateko moduan. Zer gertatzen da kasu bakoitzean? Zer dela-eta uste duzu gertatzen dela hori?

2. Itzul zaitez "hautazko triangelua" posiziora. Irristailu berdearekin (+ eta – teklez baliatu zehatz mugitzeko) aukeratu X(2) puntua, barizentroa. Handituta agertuko da. Egiaztatu barizentroa dela puntu hori, puntua Barizentroa tresnarekin eraikiz.
   
   Aktibatu "Puntu honetatik zuzenak" laukia. Hiru puntu edo gehiago (haien artean X(2)) lerrokatzen dituzten zuzenak (17, alajaina) agertuko dira. Haietako bat 1 zuzena da, eta irristailu urdinean aukeratu dezakezu. Nabarmentzeko, aktibatu eta desaktibatu "Puntu honetatik zuzenak" laukia (15 puntu daude). Hamabost puntu horietatik, X(2) puntuaz gain, X(3), X(4) eta X(5) puntuak dira aipagarriak. Nola esaten zaio zuzen horri? Egiaztatu izen bereko tresnarekin.

3. Egin gauza bera X(1), X(3), X(4) eta X(5) puntuekin. Hurrengo taulan biltzen da zuzen bakoitzak lerrokatzen duen puntu kopurua (ETCren lehenengo 100 puntuen artean).
    

   Zuzenak	Puntu-kopurua
   1	15
   2	11
   3	10
   4	8
   5 eta 6	7
   7 eta 8	6
   9tik 19ra	5
   20tik 34ra	4
   35etik 132ra	3

   
   Ikusten duzunez, puntu guztiak estu erlazionatuta daude. Dena dela, eraikitzeko prozedurak oso bestelakoak izan daitezke. Adibidez, Kosnitaren puntua, X(54), eraikiko dugu. Jarraitu honako pauso hauei:

   1. Egin ABC triangeluaren O zirkuntzentroa.

   2. Eraiki OBC triangelua, eta egin horren O_A zirkuntzentroa. Marratu AO_A zuzena.

   3. Eraiki OAC triangelua, eta egin horren O_B zirkuntzentroa. Marratu BO_B zuzena.

   4. Eraiki OAB triangelua, eta egin horren O_C zirkuntzentroa. Marratu CO_C zuzena.

   5. Hiru zuzen horiek X(54) puntuan ebakitzen dute elkar. Egiaztatu irristailu berdearekin.

4. Puntu pare asko konjugatu isogonalak. dira. Erlazio hori ohikoa eta garrantzizkoa da. Esan nahi du ezen, bi alde —edozein— hartuz gero, alde batek puntu batekin eratzen duen angelua eta beste aldeak beste puntuarekin eratzen duen angelua berdinak direla. Adibidez, O  = X(3) zirkuntzentroa eta H = X(4) ortozentroa konjugatu isogonalak dira. Egiaztatu.

5. Tresna-botoien bukaeran, puntu baten "Konjugatu isogonala" tresna daukazu. Tresna horretaz baliatuz (lehenik egin klik triangeluan, eta gero puntuan), egiaztatu honako puntu pare hauek konjugatu isogonalak direla:

   1. K = X(6) puntu simedianoa eta G = X(2) barizentroa.

   2. Kosnitaren puntua, X(54) (ikusi 3. galdera), eta 9 puntuen zirkunferentziaren zentroa, X(5).

6. Oso erraza da P puntu baten konjugatu isogonala eraikitzea. Honako hau besterik ez duzu egin behar: lotu puntu hori erpin bakoitzarekin zuzen baten bidez, eta islatu zuzen hori erpin horren barne-erdikarian. Atera dituzun hiru zuzenek elkar ebakitzen dute P puntuaren P* konjugatu isogonalean. Hori horrela dela jakinik, zein da I = X(1) intzentroaren konjugatu isogonala? Egiaztatu "Konjugatu isogonala" tresnarekin.

7. 5. galderan agertzen den legez, G barizentroaren konjugatu isogonala K puntu simedianoa da. Zergatik?

8. Prasolov-en puntua, X(68), da AA', BB' eta CC' zuzenek elkar ebakitzen duten puntua, A', B' eta C' izanik 9 puntuen zirkunferentziaren zentroan ABC triangelu ortikoaren islapena den triangeluaren erpinak. Definizio horrekin, jakingo al zenuke Praspolov-en puntua eraikitzen? Egiaztatu zure eraikuntza irristailu berdearekin.