Triangelu baten aldeak 60º-ko edo 120º-ko angeluarekin ikusten diren puntuei puntu isogoniko deritze. Bi dira, I₁ eta I₂.

Triangeluak 120º-ko angelua baino handiago bat badauka, biak handik kanpora gelditzen dira, eta 60º-ko bi angelu eta 120º-ko angelu bat eratzen dituzte aldeekin. Bestela, lehenengo puntu isogonikoa, I₁, triangeluaren barnean dago, eta 120º-ko angelu berdinak eratzen ditu aldeekin.

Ariketa honek lagunduko dizu bi puntu horiek doitasun osoz eraikitzen. Gogoratu objektuak aukeratzeko edo mugitzeko, erabiltzen ari zaren tresna utzi behar duzula, eta "Aukeratu eta mugitu" tresna erabili.

Galderak

1. Egia esan, bi puntu isogonikoak eraikitzeko izango dugun zailtasun bakarra da triangeluaren kanpoko zatia eta barneko zatia bereizi beharra. Guretzat oso erraza da bi zatiak bereiztea, triangelua osorik hartuta ikusten dugulako, baina eraikuntza-prozesua ez da hain hutsala.
   
   Has gaitezen, bada, zailtasun hori ikusten. "Poligono erregularra" tresnarekin, egin klik A-n, gero C-n, eta idatzi 3 (erpinak) puntu-kopuruari dagokion laukian. Ikusiko duzu triangelu aldekidea trazatu dela, ABC triangeluaren kanporantz. Zer gertatuko litzateke lehenik C-n egin bazenu klik, eta gero A-n ? Egiaztatu.

2. Sakatu botoia Berrabiarazi. Eraiki berriro triangelu aldekidea, AC oinarriarekin, eta ABC triangeluaren kanporantz.

   1. Egin klik eskuineko botoiaz triangelu aldekidearen hirugarren erpinean (segur aski, D izena jarri dio GeoGebrak), B-ren aurkakoan, eta B3 berrizendatu.

   2. "Zirkunferentzia hiru puntutatik pasatuz" tresnarekin, marratu triangelu aldekidearen erpinetatik igarotzen den zirkunferentzia. A, C eta B3.

   3. Marratu B3 eta B puntuetatik igarotzen den zuzena. Zuzen horrek beste puntu batean ebakiko du zirkunferentzia, B3-n ebakitzeaz gain, noski. Ikusiko dugu beste puntu hori, hain zuzen, hiru zirkunferentziek elkar ebakitzen duten puntua izango dela, hau da, lehenengo puntu isogonikoa, I₁. Egiaztatu I₁ laukia aktibatuz.

   Eraikuntza hori oso erraza da, baina, esan dugun bezala, sekulako arazoa dauka. Mugitu C erpina AB aldeaz bestaldera. Triangelu aldekideak jarraituko al du ABC triangeluaren kanporantz orientatuta? Jarraitzen al du bat etortzen zirkunferentziaren eta zuzenaren ebaki-puntuak I₁ benetako puntuarekin?

3. Berrabiarazi berriro aplikazioa. Behin egiaztatuta "kanporantz" eta "barnerantz" bereizteko zailtasuna, irtenbidea bilatuko dugu. Triangeluaren alde bakoitzerako, ohartu "kanporantz" beti dagoela planoerdia, non alde horren aurkako erpina ez dagoen. Horretan oinarrituta, AC aldearen gainean eraiki dezakegu dagokion triangelu aldekidea "kanporantz". Jarraitu honako pauso hauei:

   1. Egin AC aldearen erdiko puntua. Berrizendatu B1 moduan (erdiko puntua egin bezain laster B1 idazten baduzu, GeoGebrak ulertuko du puntu egin berria berrizendatu nahi duzula).

   2. Marratu AC aldearen erdibitzailea.

   3. Marratu erdibitzaile horrekiko perpendikularra B aurkako erpinetik.

   4. Egin bi zuzenen ebaki-puntua ("Bi objekturen elkargunea" tresna) Berrizendatu B2 moduan. Ezkutatu zuzenak (egin klik eskuineko botoiaz, desaktibatu "Objektua erakutsi").

   5. Islatu B2 puntua B1 puntuan ("Islatu objektua puntuarekiko"tresna). B2' puntua lortuko duzu.

   6. Marratu muturra B1-ean duen zuzenerdia, B2'-tik igarotzen dena. Zuzenerdi hori beti egongo da "aldetik kanporantz". Zergatik? Egiaztatzeko, mugitu C AB-ren bestaldera. Ezkutatu B1, B2 eta B2' puntuak.

   7. Marratu zentroa A-n duen eta C puntutik igarotzen den zirkunferentzia.

   8. Zirkunferentziak puntu bakarrean ebakiko du zuzenerdia. Egin, eta berrizendatu ezazu B3 moduan. Puntu hori da bilatzen ari garen AC oinarriko triangelu aldekidearen hirugarren erpina. Zergatik? Ezkutatu zuzenerdia eta zirkunferentzia.

4. Egin A, C eta B3 puntuetatik igarotzen den zirkunferentzia. Zirkunferentzia horren puntu guztiek AC aldea ikusiko dute, 60º-ko angeluarekin (arku handienean) edo 120º-ko angeluarekin (arku txikienean). Zergatik?
   
   Marratu B3 eta B puntuetatik igarotzen den zuzena. Zuzen horrek zirkunferentzia B3n ebakitzeaz gain, hiru zirkunferentziek elkar ebakitzen duten puntuan ere ebakiko dute, hau da, lehenengo puntu isogonikoan, I₁. Egiaztatu eraikuntza I₁ laukia aktibatuz.

5. Errepikatu aurreko prozesua (3 eta 4 galdera) beste bi aldeekin. Hiru zirkunferentziek puntu bakar batean ebakiko dute elkar. Puntu hori I₁ lehenengo puntu isogonikoa da. (Egiaztatu eraikuntza I₁ laukia aktibatuz, desaktibatuta badin badago.)

6. Azkenik, Angelua tresnarekin, egiaztatu I₁-tik ABC triangeluaren hiru aldeak 120º-ko angeluekin ikusten direla, non eta ABC triangeluak hori baino angelu handiago bat ez duen. Kasu horretan, I₁-tik beste bi angeluen aurkako aldeak ikusiko dira 60º-ko angeluekin.
   
   Oharra: Eragotz dezakezu angeluak angelu konkabo gisa ikustea (hau da, 180º baino handiagoak) honako prozedura honi jarraituz:

   1. Egin klik eskuineko botoiaz edozein angelutan. Aukeratu Propietateak.

   2. Ezkerreko aldean, egin klik Angelua hitzaren gainean (horrela, angelu guztiak aldi berean aukeratuko dituzu).

   3. Oinarrizkoa fitxan, desaktibatu "Onartu angelu konkaboak" laukia.

7. Berrabiarazi aplikazioa. Bigarren puntu isogonikoaren eraikuntza, I₂, oso antzekoa da. Desberdintasun bakarra da ez dela beharrezkoa 3. galderako v pausoa egitea, B1etik B2'rako zuzenerdia marratu beharrean (hau da, "kanporantz") muturra B1ean duen eta B2tik igarotzen den zuzenerdia marratzen dugulako (hau da, "barnerantz").
   
   Angelua tresnarekin, egiaztatu I₂-tik bi alde ikusten direla 60º-ko angeluarekin eta hirugarrena 120º-ko angeluarekin.

8. Berrabiarazi aplikazioa. Aktibatu I₁ eta I₂ laukiak puntu isogonikoak erakusteko. Bi puntuek, A, B eta C erpinekin batera, konika bat zehazten dute (5 puntuk beti egiten dutelako). Marratu ezazu "Konika bost puntutatik pasatuz" tresna erabiliz. Hiperbola aldekidea agertuko da, Kiepert-en hiperbola deritzona.
   
   Ba al dauka ezer apartekorik? Itxuraz, deus ere. Baina erdibidekoak eta altuerak marratzen badituzu, edo G eta H laukiak aktibatzen badituzu, egiaztatu ahal izango duzu bai G barizentroa bai H ortozentroa..., biak, hiperbola horretan daudela!

9. "Erdigunea edo zentroa" tresnarekin, egin Kiepert-en hiperbolaren zentroa. Ondoren, lotu zentro hori lehenengo puntu isogonikoarekin, I₁-rekin. Zuzen horrek ere ez dauka ezer apartekorik lehen begiratuan, baina asmatu zer gertatzen den baldin eta K laukia aktibatzen baduzu puntu simedianoaren posizioa erakusteko.