Fermaten puntua

Imajinatu hiru hiri elkarren artean lotzen dituen autobide bat eraiki beharra dagoela, ahalik eta kilometro kopuru txikiena eraikita. Matematikoki, problema honela enuntziatzen da:

 

Triangelu bat izanik, zer puntutan da txikiena erpinetarainoko distantzien batura?

 

Dirudienez, problema hau planteatu zuen lehena Fermat matematikari frantziarra (XVII. mendea) izan zen, garai hartako garrantzitsuenetako bat. Haren garaikide batek, Torricelli matematikari italiarrak (presio atmosferikoa aurkitu zuen), lortu zuen ebaztea. Torricelliren dizipulu batek, Vivianik, argitaratu zuen ebazpena haren izenean.

 

Sentitzen dugu, baina GeoGebraren appleta ezin izan da abiarazi. Mesedez, egiaztatu instalatuta eta aktibatuta daukazula Javaren 1.4.2 bertsioa edo berriago bat zure nabigatzailean. (Egin klik hemen Java oraintxe instalatzeko.)

 

Galderak

  1. Mugitu A, B eta C erpinak, eta behatu Fermaten puntuaren posizioari (F puntua), erpinetarainoko distantzien batura minimizatzen duen puntuari. Zein kasutan dago triangeluaren barnean? Ba al dago noizbait kanpoan? Zer kasutan dator bat erpin batekin?

  2. Mugitu P puntua, eta behatu nola aldatzen den puntu horretatik erpinetarainoko distantzien baturari. Egiaztatu batura hori F-tik lortutakoa baino handiagoa dela beti, non eta P eta F bat ez datozen.

    ABC triangeluaren angelu handiena 120º-ra iristen ez denean, Fermaten puntuak triangeluaren barnean dirau, eta haren posizioa bat dator lehenengo puntu isogonikoarenarekin. Frogatu dezagun. Egin aurrera hurrengo eraikuntzaren 17 pausoetatik, galdera bakoitzean ematen diren argibideen arabera.

Sentitzen dugu, baina GeoGebraren appleta ezin izan da abiarazi. Mesedez, egiaztatu instalatuta eta aktibatuta daukazula Javaren 1.4.2 bertsioa edo berriago bat zure nabigatzailean. (Egin klik hemen Java oraintxe instalatzeko.)

  1. Joan 2. pausora. F puntua da lehenengo puntu isogonikoa. Frogatu nahi dugu Fermaten puntua dela, hau da, frogatu nahi dugu F-k minimizatu egiten duela erpinetarainoko distantzien batura. Egin aurrera 6. pausoraino, eta deskribatu egin den eraikuntza.

  2. Egin aurrera 9. pausoraino. Zergatik dira hiru angeluak 120º-koak?

  3. Zenbat balio dute A'B'C' triangeluaren barne-angeluek? (Argibidea: behatu BFCA' laukiari, adibidez, eta gogoratu edozein laukiren barne-angeluen batura 360º dela). Egiaztatu zure erantzuna, 13. pausoraino aurrera eginez.

  4. A'B'C' triangelua, hortaz, aldekidea da. Beraz, horren barneko puntuek Vivianiren teorema betetzen dute. AF + BF + CF = a' + b' + c' betetzen da. Zergatik?

  5. a' ≤ AP, b' ≤ BP, c' ≤ CP ere betetzen da. Zergatik?

  6. Hortik ondorioztatzen da AF + BF + CF ≤ AP + BP + CP. Zergatik?

  7. Aurreko desberdintzak frogatzen du F Fermaten puntua dela. Zergatik?

 

 

 

 

 



 

 

 

 

 



 HASIERA    Creative Commons License José Luis Álvarez Garcíak eta Rafael Losada Listek egindako eraikuntza.