Demagun simetria-ardatz bertikala duen parabola bat dugula; orduan, puntu bakar batean ebakiko du edozein zuzen bertikalek parabola. Horrela, funtziotzat har ditzakegu halako grafikoa duten parabolak. Baina, zer motatako funtzioa da hori?

Jarduera honetan, parabola berezi bat kokatuko dugu koordenatu-sisteman. Erpina (V) koordenatu-jatorrian eta fokua (0,1/4) puntuan kokatuko ditugu. Posizio horretan, erraz ondorioztatuko dugu zer erlazio duten parabolaren puntu guztien y koordenatuek eta x koordenatuek beren artean. Beraz, parabolaren ekuazioa lor dezakegu.

Oinarrizko parabola horretatik abiatuta, eta kontuan hartuta erpin eta ardatz berberak dituzten parabolak homologoak direla erpin horrekiko (gogoratu "Funtzio koadratikoa (4)" ataleko jarduerak), erpina koordenatu jatorrian eta simetria-ardatz bertikala dituen edozein parabolaren ekuazioa lortuko dugu.

Ikusiko dugu "a" balioak (parametroak) guztiz zehazten duela horrelako edozein parabola.

Galderak

1. Aztertu arretaz irudia. Parabolaren erpina O(0,0) koordenatu-jatorrian eta fokua F(0,1/4) puntuan daude kokatuta. Irristatu P puntua parabolan zehar. Zein da p parametroaren balioa parabola horretarako? (Gogoratu p balioa parametro fokala dela; hau da, fokuaren eta zuzentzailearen arteko distantzia). Zenbateko luzera du alde zuzenak?

2. Zein da parabola horren zuzentzailearen ekuazioa?

3. VFM eta NDM triangeluak kongruenteak dira. Zergatik? (Esaten dugu bi triangelu kongruenteak direla biak berdinak direnean; hau da, bata bestearen gainean jarri eta bat datozenean).

4. Zein dira N eta M puntuen koordenatuak? Adieraz itzazu P puntuaren x abzisa-koordenatuaren funtzioan.

5. Zein dira D puntuaren koordenatuak?

6. Zenbateko luzera dute VF, NP, NM eta VM zuzenkiek? Adierazi erantzunak P puntuaren koordenatuen (x eta y) funtzioan.

7. Bi angelu moreak berdinak dira. Zergatik?

8. Bi triangelu zuzen moreak antzekoak dira. Zergatik?

9. Triangeluok antzekoak direnez, NP/NM = VM/VF. Zergatik?

10. Jakina, VF·NP = NM·VM moduan adieraz dezakegu goiko berdintza. Ordezkatu VF, NP, NM eta VM 6. galderan lortu dituzun balioekin. Sinplifikatu lortutako adierazpena  y = x² ekuazioa lortu arte. Horixe izango da parabolaren ekuazioa.

11. Mugitu A puntua. Egiaztatu, posizio batean zein beste edozeinetan egonda ere, aurreko galderan lortutako parabolaren ekuazioa betetzen dutela puntuaren koordenatuek; hau da, ordenatua abzisaren berbidura dela beti.

12. Aztertu PNM triangelua, parabolaren P puntutik igarotzen den ukitzailearen azpian dagoena. Zein da ukitzaile horren malda, y = x² dela kontuan hartuta? (Adierazi erantzuna P puntuaren abzisaren funtzioan). 

13. Esan dezakegu y = x² nolabaiteko oreka bat adierazten duela, eta planoko bi zonalde bereizten dituela: bata, y < x² desberdintza betetzen duten planoko puntuek osatzen dutena, eta bestea, y > x² desberdintza betetzen duten planoko puntuek osatutakoa. Non daude planoko bi zonalde horiek? 

14. Erpina jatorrian eta fokua ordenatu-ardatzean dituzten parabola guztiak eta y = x² ekuazioa duen parabola homologoak direla ikasi duzu "Funtzio koadratikoa -4" ataleko jarduerak landu dituzunean. Orain, "Homotezia"  izeneko kontrol-laukia gaitu, eta V erpinean zentratutako eta k faktorea duen homotezia bat aplikatuko da. Horrekin, F´ fokua duen parabola berri bat lortuko duzu. F´ fokuaren koordenatuak (0,1/4) izango dira. Zergatik? Zein da parabola berriaren p parametroaren balioa?

15. y = x² ekuazioa duen parabolaren P(x,y) puntuak, edozeinek, P´(x,y) = (kx,ky) puntu homologo bat izango du. Orain, P´ puntu homologoaren koordenatuen arteko erlazioa zein den topatzea da gure helburua.
    
    Esan bezala, k faktorea duen homotezia aplikatzean, P´ izatera pasatzen da P puntua. Beraz, a=1/k faktorea duen homotezia bat aplikatuz gero, P bihurtuko da P´. Horrela, P´-ren koordenatuak (x,y) badira, P-ren koordenatuak (ax,ay) izango dira.
    
    Bestalde, y = x² ekuazioa dugunez, ay = (ax)² adierazpena izango dugu. Adierazpen hori sinplifikatzen badugu, erpina jatorrian duten parabolen ekuazioa lortuko dugu: y = a  x².
    
    Eta a koefizientearen eta parabolaren p parametroaren arteko erlazioa hau izango da: a positiboa denean, a = 1/k = 1/(2p); eta a negatiboa denean, a = 1/k = –1/(2p). Zergatik? Konturatu bi kasuetan a-ren balio absolutuak alde zuzenaren luzeraren alderantzizko balioa duela; a-ren zeinuak, ostera, parabolaren adarrak gorantz ala beherantz doazen adierazten digu.

16. Orain, y = a x² ekuazioa ikustearekin batera, eta haren grafikoa ikusi gabe, funtzio bikoiti bati dagokiola baiezta dezakegu. Zergatik?

17. Aztertu triangelu urdina, parabolaren P´-tik igarotzen den ukitzailearen azpian dagoena. Zenbatekoa da parabolaren P puntutik igarotzen den ukitzailearen malda? 
    (Hartu kontuan y = a x² betetzen dela, eta adierazi erantzuna P´puntuaren x koordenatuaren funtzioan). 

18. Gorago esan bezala, y = a x² berdintzarako ere esan dezakegu nolabaiteko oreka bat adierazten duela, eta planoko bi zonalde bereizten dituela: bata, y < a x² desberdintza betetzen duten planoko puntuek osatzen dutena, eta bestea, y > a x² desberdintza betetzen duten planoko puntuek osatutakoa. Non daude planoko bi zonalde horiek?

19. Demagun k = 2 dela. Zer erlazio dago eszenan agertzen diren bi parabolen artean? Zein da bakoitzak duen ekuazioa?

20. Mugitu irristailua k = –1 izan arte. Orain, zer erlazio dago bi parabolen artean? Zein da bakoitzak duen ekuazioa?

21. Erpina koordenatu-jatorrian eta fokua (0,1) puntuan ditu parabola batek. Zein da parabolaren ekuazioa?

22. Eta erpina koordenatu-jatorrian eta fokua (0,–1) puntuan baditu, berriz, zein izango da parabolaren ekuazioa?

23. Zein da parabola baten ekuazioa, haren erpina koordenatu-jatorrian badago eta y = 0.5 ekuazioko zuzentzailea badu?

24. Zein da parabola baten ekuazioa, haren erpina koordenatu-jatorrian badago eta y = –0.5 ekuazioko zuzentzailea badu?

25. Zenbatekoa da p parametroaren balioa y = 2x² ekuazioa duen parabola batean? Non dago fokua (eman fokuaren koordenatuak)? Zein da zuzentzailearen ekuazioa?

26. Zenbatekoa da p parametroaren balioa y = –2x² ekuazioa duen parabola batean? Non dago fokua (eman fokuaren koordenatuak)? Zein da zuzentzailearen ekuazioa?

Oharra: Ekuazioekin jokatzea gustukoa baduzu, y = ax² ekuaziora heltzeko modu zuzenago bat ikas dezakezu. Horretarako, erpina jatorrian eta fokua ordenatu-ardatzeko F(0,f) puntu batean dituen parabola leku geometriko gisa definitzen duen ekuazioa erabiliko duzu: "P(x,y) puntu baten eta F(0,f) fokuaren arteko distantzia (batetik) eta P puntuaren eta y = –f zuzentzailearen artekoa (bestetik) berdinak dira"; beraz,

Berdintzaren bi atalen berbidura kalkulatu, eta lortutako adierazpena garatuta eta sinplifikatuta (biderkadura nabarmenetan ikasitakoa aplikatu behar duzu), ekuazio hau lortuko duzu:

Eta amaitzeko: 1/(4f) adierazpenari a deituta, y = ax² lortuko duzu .